Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(C\left( {2; - 5} \right)\) và đường thẳng: \(\Delta

Câu hỏi số 354624:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(C\left( {2; - 5} \right)\) và đường thẳng: \(\Delta :\,\,3x - 4y + 4 = 0.\) Tìm trên \(\Delta \) hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua \(I\left( {2;\,\,\frac{5}{2}} \right)\) sao cho diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(15.\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {2;\,\,2} \right)\\A\left( {2;\,\,2} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {1;\,\,1} \right);\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\\A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,B\left( {1;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {0;\,\,4} \right)\\A\left( {0;\,\,4} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\\A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354624

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác và tính chất đối xứng của hai điểm qua 1 điểm đề làm bài toán.

Giải chi tiết

Thay tọa độ điểm \(I\left( {2;\,\,\frac{5}{2}} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 4 = 0\) ta có:

\(3.2 - 4.\frac{5}{2} + 4 = 0 \Rightarrow I \in \Delta .\)

Lại có \(A \in \Delta \Rightarrow A\left( {a;\,\,\frac{{3a + 4}}{4}} \right).\)

Vì \(A,\,\,B\) đối xứng với nhau qua \(I \Rightarrow B\left( {4 - a;\,\,\frac{{16 - 3a}}{4}} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {4 - 2a;\,\,\frac{{6 - 3a}}{2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {4 - 2a} \right)}^2} + {{\frac{{\left( {6 - 3a} \right)}}{4}}^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {5a - 10} \right)}^2}}}{4}} = \frac{{\left| {5a - 10} \right|}}{2}.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{ABC}} = 15\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C;\,\,\Delta } \right).AB = 15\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.2 - 4.\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}.\frac{{\left| {5a - 10} \right|}}{2} = 30\\ \Leftrightarrow 15.\left| {a - 2} \right| = 30\\ \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\\A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.