Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(C\left( {2; - 5} \right)\) và đường thẳng: \(\Delta

Câu hỏi số 354624:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(C\left( {2; - 5} \right)\) và đường thẳng: \(\Delta :\,\,3x - 4y + 4 = 0.\) Tìm trên \(\Delta \) hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua \(I\left( {2;\,\,\frac{5}{2}} \right)\) sao cho diện tích \(\Delta ABC\) bằng \(15.\)

A. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {2;\,\,2} \right)\\A\left( {2;\,\,2} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {1;\,\,1} \right);\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\\A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,B\left( {1;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {0;\,\,4} \right)\\A\left( {0;\,\,4} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\\A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:354624

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác và tính chất đối xứng của hai điểm qua 1 điểm đề làm bài toán.

Giải chi tiết

Thay tọa độ điểm \(I\left( {2;\,\,\frac{5}{2}} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,3x - 4y + 4 = 0\) ta có:

\(3.2 - 4.\frac{5}{2} + 4 = 0 \Rightarrow I \in \Delta .\)

Lại có \(A \in \Delta \Rightarrow A\left( {a;\,\,\frac{{3a + 4}}{4}} \right).\)

Vì \(A,\,\,B\) đối xứng với nhau qua \(I \Rightarrow B\left( {4 - a;\,\,\frac{{16 - 3a}}{4}} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {4 - 2a;\,\,\frac{{6 - 3a}}{2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {4 - 2a} \right)}^2} + {{\frac{{\left( {6 - 3a} \right)}}{4}}^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {5a - 10} \right)}^2}}}{4}} = \frac{{\left| {5a - 10} \right|}}{2}.\)

Theo đề bài ta có: \({S_{ABC}} = 15\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {C;\,\,\Delta } \right).AB = 15\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.2 - 4.\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}.\frac{{\left| {5a - 10} \right|}}{2} = 30\\ \Leftrightarrow 15.\left| {a - 2} \right| = 30\\ \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 2 = 2\\a - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {4;\,\,4} \right);\,\,\,B\left( {0;\,\,1} \right)\\A\left( {0;\,\,1} \right);\,\,\,B\left( {4;\,\,4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10