Giải phương trình \(2\sin 2x - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\).

Câu hỏi số 356470:

Nhận biết

A. \(x = k\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)hoặc \(x = \dfrac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k\pi \)

B. \(x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{k\pi }}{3}\)hoặc \(x = \dfrac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + \dfrac{{k\pi }}{3}\)

C. \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\) hoặc \(x = \dfrac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + \dfrac{{k2\pi }}{3}\)

D. \(x = k2\pi ,\,\,x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)hoặc \(x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + k2\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356470

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

\(2\sin 2x - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 4\sin x\cos x - \left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\).

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(2\left( {{t^2} - 1} \right) - t + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(t = 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(t = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{4} = \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 2k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.