Giải phương trình \(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x\).

Câu hỏi số 356471:

Nhận biết

A. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \)

B. \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k2\pi }}{3};\,\,x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + \dfrac{{k2\pi }}{3};\,\,x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\)

C. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{4};\,\,x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi ;\,\,x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356471

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện xác định.

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x \Leftrightarrow 1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(t = \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} - t - \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \sqrt 2 \\t = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(t = \sqrt 2 \Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(t = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{2}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.