Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b.$ Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm \(I\left( {1;3}

Câu hỏi số 356547:

Vận dụng

Tìm phương trình đường thẳng $d:y = ax + b.$ Biết đường thẳng $d$ đi qua điểm $I\left( {1;3} \right)$ , cắt hai tia $Ox,{\rm{ }}Oy$ và cách gốc toạ độ một khoảng bằng $\sqrt 5 .$

$y = 2x + 5.$

$y = - 2x - 5$

$y = 2x - 5$

$y = - 2x + 5$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356547

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số $y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ nếu ${y_0} = a{x_0} + b.$

Cho hai đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.$

$d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow$ Tọa độ giao điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..$

Giải chi tiết

Đường thẳng $d:y = ax + b$ đi qua điểm $I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b \Leftrightarrow a + b = 3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $d \cap Ox = A\left( { - \frac{b}{a};0} \right){\rm{ ; }}d \cap Oy = B\left( {0;b} \right).$

Lại có $A \in \,\,tia\,\,\,Ox,\,\,\,B \in tia\,\,\,Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} > 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| = - \frac{b}{a}\\OB = \left| b \right| = b\end{array} \right..$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $d \Rightarrow OH = \sqrt 5 .$

Xét tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ , có đường cao $OH$ nên ta có

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow b = 3 - a.$ Thay vào $\left( 2 \right)$ , ta được:

${\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2}\\{a = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$

+ Với $a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{5}{2} \Rightarrow OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| = - \frac{b}{a} = - 5 < 0:$ loại

+ Với $a = - 2 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow OA = \frac{2}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy đường thẳng cần tìm là $d:y = - 2x + 5.$

Chọn D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.