Tìm phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b.\) Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {1;3}

Câu hỏi số 356547:

Vận dụng

Tìm phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b.\) Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right)\), cắt hai tia \(Ox,{\rm{ }}Oy\) và cách gốc toạ độ một khoảng bằng \(\sqrt 5 .\)

A. \(y = 2x + 5.\)

B. \(y = - 2x - 5\)

C. \(y = 2x - 5\)

D. \(y = - 2x + 5\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:356547

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b.\)

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..\)

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b \Leftrightarrow a + b = 3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d \cap Ox = A\left( { - \frac{b}{a};0} \right){\rm{ ; }}d \cap Oy = B\left( {0;b} \right).\)

Lại có \(A \in \,\,tia\,\,\,Ox,\,\,\,B \in tia\,\,\,Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} > 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| = - \frac{b}{a}\\OB = \left| b \right| = b\end{array} \right..\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d \Rightarrow OH = \sqrt 5 .\)

Xét tam giác vuông \(AOB\) vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\) nên ta có

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = 3 - a.\) Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được:

\({\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2}\\{a = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

+ Với \(a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{5}{2} \Rightarrow OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| = - \frac{b}{a} = - 5 < 0:\) loại

+ Với \(a = - 2 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow OA = \frac{2}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y = - 2x + 5.\)

Chọn D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.