Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho số \({2^8} + {2^{11}} + {2^n}\) là số chính phương.

Câu hỏi số 358181:

Vận dụng

A. \(12\)

B. \(11\)

C. \(13\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358181

Phương pháp giải

Cô lập \({2^n}\) sau đó phân tích \({2^n}\) dưới dạng tích các thừa số.

Giải chi tiết

Giả sử \({2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\) thì

\({2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right) \Rightarrow {2^p}{.2^q} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right)\)

với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}\) ; \(p + q = n\) và \(p > q\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3\)

\( \Rightarrow q = 5\) và \(p - q = 2 \Rightarrow p = 7 \Rightarrow n=p + q = 7 + 5 = 12\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link