Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho số \({2^8} + {2^{11}} + {2^n}\) là số chính phương.

Câu hỏi số 358181:

Vận dụng

A. \(12\)

B. \(11\)

C. \(13\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358181

Phương pháp giải

Cô lập \({2^n}\) sau đó phân tích \({2^n}\) dưới dạng tích các thừa số.

Giải chi tiết

Giả sử \({2^8} + {2^{11}} + {2^n} = {a^2}\,\,\left( {a \in \mathbb{N}} \right)\) thì

\({2^n} = {a^2} - {48^2} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right) \Rightarrow {2^p}{.2^q} = \left( {a + 48} \right)\left( {a - 48} \right)\)

với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}\) ; \(p + q = n\) và \(p > q\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 48 = {2^p}\\a - 48 = {2^q}\end{array} \right. \Rightarrow {2^p} - {2^q} = 96 \Leftrightarrow {2^q}\left( {{2^{p - q}} - 1} \right) = {2^5}.3\)

\( \Rightarrow q = 5\) và \(p - q = 2 \Rightarrow p = 7 \Rightarrow n=p + q = 7 + 5 = 12\).

Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link