Chứng minh rằng: Nếu \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\)

Câu hỏi số 358180:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Nếu \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) đều là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358180

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất đặc biệt “\(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(ab\) là số chính phương \( \Rightarrow \) \(a,\,\,b\) là số chính phương.

Giải chi tiết

Ta có : \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {m^2} \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {4m + 4n + 1} \right) = {m^2}\,\,\left( * \right)\).

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) thì \(\left( {4m + 4n + 1} \right) + 4\left( {m - n} \right)\) chia hết cho \(d\) \( \Rightarrow 8m + 1\) chia hết cho \(d\).

Mặt khác, từ (*) ta có: \({m^2}\,\, \vdots \,\,{d^2} \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,d\).

Từ \(8m + 1\) chia hết cho \(d\) và \(m\) chia hết cho \(d\) ta có \(1\) chia hết cho \(d\) suy ra \(d = 1\).

Vậy \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là các số nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link