Chứng minh rằng: Nếu \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\)

Câu hỏi số 358180:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Nếu \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) đều là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358180

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất đặc biệt “\(\left( {a;b} \right) = 1\) và \(ab\) là số chính phương \( \Rightarrow \) \(a,\,\,b\) là số chính phương.

Giải chi tiết

Ta có : \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - {n^2}} \right) + \left( {m - n} \right) = {m^2} \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {4m + 4n + 1} \right) = {m^2}\,\,\left( * \right)\).

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) thì \(\left( {4m + 4n + 1} \right) + 4\left( {m - n} \right)\) chia hết cho \(d\) \( \Rightarrow 8m + 1\) chia hết cho \(d\).

Mặt khác, từ (*) ta có: \({m^2}\,\, \vdots \,\,{d^2} \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,d\).

Từ \(8m + 1\) chia hết cho \(d\) và \(m\) chia hết cho \(d\) ta có \(1\) chia hết cho \(d\) suy ra \(d = 1\).

Vậy \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là các số nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link