Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {100^3}\) và \(B = 1 + 2 + 3 + ... + 100.\) Chứng minh rằng: \(A\, \vdots

Câu hỏi số 359872:

Vận dụng

Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {100^3}\) và \(B = 1 + 2 + 3 + ... + 100.\) Chứng minh rằng: \(A\, \vdots \,B.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:359872

Phương pháp giải

Dựa vào công thức: \({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - A.B + {B^2}} \right)\)

- Tính B

- Để chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,B\) ta chứng minh \(A\,\, \vdots \,\,50\) và \(A\,\, \vdots \,\,101.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(B\) có số số hạng là: \(\frac{{100 - 1}}{1} + 1 = 100\) (số hạng).

\( \Rightarrow B\) có \(100:2 = 50\) (cặp nhóm gồm \(2\) số hạng).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \left( {1 + 100} \right) + \left( {2 + 99} \right) + ...\left( {50 + 51} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 101.50.\end{array}\)

Để chứng minh \(A\,\, \vdots \,B\) ta cần chứng minh \(A\) chia hết cho \(50\) và \(101.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {{1^3} + {{100}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {{99}^3}} \right) + ... + \left( {{{50}^3} + 51{}^3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {1 + 100} \right)\left( {{1^2} - 100 + {{100}^2}} \right) + \left( {2 + 99} \right)\left( {{2^2} - 2.99 + {{99}^2}} \right) + ... + \left( {50 + 51} \right)\left( {{{50}^2} - 50.51 + {{51}^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = 101\left( {{1^2} - 100 + {{100}^2}} \right) + 101\left( {{2^2} - 2.99 + {{99}^2}} \right) + ... + 101\left( {{{50}^2} - 50.51 + {{51}^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = 101\left( {{1^2} - 100 + {{100}^2} + {2^2} - 2.99 + {{99}^2} + ... + {{50}^2} - 50.51 + {{51}^2}} \right)\,\, \vdots \,\,101\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,101\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {{1^3} + {{99}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {{98}^3}} \right) + ... + \left( {{{50}^3} + 100{}^3} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {1 + 99} \right)\left( {{1^2} - 99 + {{99}^2}} \right) + \left( {2 + 98} \right)\left( {{2^2} - 2.98 + {{98}^2}} \right) + ... + \left( {50 + 100} \right)\left( {{{50}^2} - 50.100 + {{100}^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = 100\left( {{1^2} - 99 + {{99}^2}} \right) + 100\left( {{2^2} - 2.98 + {{98}^2}} \right) + ... + 100\left( {{{50}^2} - 50.100 + {{100}^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = 100\left( {{1^2} - 99 + {{99}^2} + {2^2} - 2.98 + {{98}^2} + ... + {{50}^2} - 50.100 + {{100}^2}} \right)\,\, \vdots \,\,50\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,50\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow A\) chia hết cho \(50\) và \(101.\)

Hay \(A\,\,\, \vdots \,\,B.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link