Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) sao cho \({x^2} + {y^2} = 2\left( {x + y} \right) + xy.\)

Câu hỏi số 366725:

Vận dụng

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {4;2} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;4} \right)\)

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {4;4} \right)\)

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {1;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( {4;4} \right)\)

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;0} \right),\left( {0;3} \right),\left( {4;3} \right),\left( {3;4} \right),\left( {4;4} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:366725

Phương pháp giải

Ta coi \(x\) là ẩn còn \(y\) là tham số rồi đưa phương trình trên về dạng \(A{x^2} + Bx + C = 0\)sau đó xét \({\Delta _x} \ge 0\) để giới hạn khoảng giá trị của biến.

Giải chi tiết

Ta có phương trình bậc hai ẩn \(x:\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - \left( {y + 2} \right)x + {y^2} - 2y = 0\\{\Delta _x} \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 12y + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}\left( { \approx - 0,3} \right) \le y \le \frac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}\left( { \approx 4,3} \right)\end{array}\)

Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên \(y = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)

TH1: Với \(y = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right)\)

TH2: Với \(y = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH3: Với \(y = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right),\left( {4;2} \right)\)

TH4: Với \(y = 3 \Rightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH5: Với \(y = 4 \Rightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4;4} \right),\left( {2;4} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {4;2} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;4} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link