a) Cho \(n\) là một số không chia hết cho \(3.\) Chứng minh rằng: \({n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\) b)

Câu hỏi số 367000:

Vận dụng

a) Cho \(n\) là một số không chia hết cho \(3.\) Chứng minh rằng: \({n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\)

b) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3.\) Hỏi \({p^2} + 2003\) là số nguyên tố hay hợp số?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:367000

Phương pháp giải

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\) và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\) là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\) và \(a.\)

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Giải chi tiết

a) Với: \(n = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 1} \right) = 3k\left( {3k + 1} \right) + 3k + 1.\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia 3 dư 1 ( Vì \(3k\left( {k + 1} \right) \vdots 3;3k \vdots 3\))

Với: \(n = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 2} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right) + 2\left( {3k + 2} \right)\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 6k + 4\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 3\left( {2k + 1} \right) + 1\end{array}\)

Vì \(3k\left( {3k + 2} \right)\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,3\left( {2k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\)

b) Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(p\) không chia hết cho \(3.\)

Vậy \({p^2}\) chia cho \(3\) dư \(1\) tức là \({p^2} = 3k + 1 \Rightarrow {p^2} + 2003 = 3k + 1 + 2003 = 3k + 2004\,\, \vdots \,\,3\)

(Vì \(3k\,\, \vdots \,\,3;\,\,\,2004\,\, \vdots \,\,3\)).

Vậy \({p^2} + 2003\) là hợp số.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link