Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x +

Câu hỏi số 367331:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\) khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\frac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}\)

B. \(\frac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}\)

C. \(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}\)

D. \(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:367331

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} .\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} = \int {\left( {\cos 2x + 1 + 1} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)

Lại có: \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 0 + 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4.\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\\,\,\, = \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi } \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.