Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\) khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Câu 367331: Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết \(f\left( 0 \right) = 4\) và \(f'\left( x \right) = 2{\cos ^2}x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\) khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A. \(\frac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}\)
B. \(\frac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}\)
C. \(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}\)
D. \(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}\)
Quảng cáo
Sử dụng công thức: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} .\)
-
Đáp án : C(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)} dx = \int {\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right)dx} = \int {\left( {\cos 2x + 1 + 1} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)dx} = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + C.\end{array}\)
Lại có: \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 0 + 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4.\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + 2x + 4} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{1}{4}\cos 2x + {x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\\,\,\, = \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi } \right) - \left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\end{array}\)
Chọn C.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
