Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng các tứ giác \(CDHE,\,\,BCEF\) nội tiếp.
b) Hai đường thẳng \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(M\). Chứng minh \(MB.MC = ME.MF\).
c) Đường thẳng qua \(B\) và song song với \(AC\) cắt \(AM,\,\,AH\) lần lượt tại \(I,\,\,K\). Chứng minh rằng \(HI = HK\).
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng các tứ giác \(CDHE,\,\,BCEF\) nội tiếp.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BEC = \angle HEC = {90^0}\\AD \bot BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HDC = {90^0}\\CF \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BFC = {90^0}\end{array} \right.\).
+) Xét tứ giác \(CDHE\) có: \(\angle HEC + \angle HDC = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(CDHE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\))
+) Xét tứ giác \(BCEF\) có : \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) Hai đường thẳng \(EF\) và \(BC\) cắt nhau tại \(M\). Chứng minh \(MB.MC = ME.MF\).
Do tứ giác \(BCEF\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle MBF = \angle FEC = \angle MEC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét tam giác \(MBF\) và tam giác \(MEC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle EMC\,\,chung;\\\angle MBF = \angle MEC\,\,\left( {cmt} \right);\\ \Rightarrow \Delta MBF \sim \Delta MEC\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MF}} = \frac{{ME}}{{MC}} \Rightarrow MB.MC = ME.MF\end{array}\)
c) Đường thẳng qua \(B\) và song song với \(AC\) cắt \(AM,\,\,AH\) lần lượt tại \(I,\,\,K\). Chứng minh rằng \(HI = HK\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
