Cho tam giác nhọn \(ABC\) có trực tâm \(H\) và hai đường cao \(AE,\,\,BF\) a) Chứng minh rằng \(\angle

Câu hỏi số 370591:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có trực tâm \(H\) và hai đường cao \(AE,\,\,BF\)

a) Chứng minh rằng \(\angle BAE = \angle BFE.\)

b) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(CH,\) \(I\) là giao điểm của \(EF\) với \(d.\) Chứng minh rằng \(I{B^2} = IE.IF.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370591

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB.\)

b) Xét hai tam giác đồng dạng: \(\Delta FBE\) đồng dạng \(\Delta BEI.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(\angle BAE = \angle BFE\)

Ta có \(\angle AFB = \angle AEB = {90^o}\,\,(gt) \Rightarrow \)tứ giác \(ABEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AB\) (tứ giác có hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh \(AB\) dưới góc \({90^0}\) )

\( \Rightarrow \angle BAE = \angle BFE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)).

b) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(CH,\) \(I\) là giao điểm của \(EF\) với \(d.\) Chứng minh rằng \(I{B^2} = IE.IF.\)

Ta có: \(d//CH \Rightarrow BI//CH\)

Mà \(CH \bot AH \Rightarrow BI \bot AB\)

\( \Rightarrow BI\) là tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \angle FBI = \angle BEI\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\))

Xét \(\Delta FBI\)và \(\Delta BEI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle FBI = \angle BEI\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle I\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta FBI \sim \Delta BEI\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{FI}}{{BI}} = \frac{{BI}}{{EI}} \Rightarrow B{I^2} = FI.EI\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link