Cho \(S = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\). Chứng minh rằng: \(4S + 1\) là

Câu hỏi số 370830:

Vận dụng

Cho \(S = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\).

Chứng minh rằng: \(4S + 1\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370830

Phương pháp giải

Dựa vào: Để chứng minh một số A là số chính phương, ta chứng minh \(A = {k^2}\left( {k \in N} \right)\)

Và tính chất: \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \frac{1}{4}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right).4\\ = \frac{1}{4}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 3} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right]\\ = \frac{1}{4}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) - \frac{1}{4}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k - 1} \right)\\ \Rightarrow 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) - k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k - 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\\ \Rightarrow 4S + 1 = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 1\\ = \left[ {k\left( {k + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right] + 1\\ = \left( {{k^2} + 3k} \right)\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({k^2} + 3k = t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow \left( * \right) = t\left( {t + 2} \right) + 1 = {t^2} + 2t + 1 = {\left( {t + 1} \right)^2} = {\left( {{k^2} + 3k + 1} \right)^2}\)

Vì \(k \in N \Rightarrow {k^2} + 3k + 1 \in N\)

\( \Rightarrow \)\(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 1\) là số chính phương

\( \Rightarrow 4S + 1\) là số chính phương (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link