Chứng minh rằng: Số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) đều

Câu hỏi số 370831:

Vận dụng

Chứng minh rằng: Số tự nhiên thỏa mãn \(3{m^2} + m = 4{n^2} + n\) thì \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) đều là số chính phương

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370831

Phương pháp giải

Tính chất: Nếu \(a\) và \(b\) là hai số cùng nhau và \(ab\) là số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là số chính phương

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}3{m^2} + m = 4{n^2} + n \Leftrightarrow 3{m^2} + m + {m^2} = 4{n^2} + n + {m^2}\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4{n^2} + m - n = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 2n} \right)\left( {2m - 2n} \right) + m - n = {m^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right) + \left( {m - n} \right) = {m^2}\\ \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {4m + 4n + 1} \right) = {m^2}\left( 1 \right)\end{array}\)

+) Chứng minh \(m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau:

Gọi \(d = UCLN\left( {m - n,4m + 4n + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 4n + 1 \vdots d\\m - n \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow 4m + 4n + 1 - 4\left( {m - n} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 8m + 1 \vdots d\end{array}\)

Vì d là ước của \(m - n \Rightarrow {d^2}\) là ước của \({m^2}\) hay \({m^2} \vdots {d^2}\)

d là ước của \(4m + 4n + 1\) \(m \vdots d \Rightarrow 8m \vdots d\)

Do đó \(1 \vdots d \Rightarrow d = 1\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {m - n,4m + 4n + 1} \right) = 1\)

\( \Rightarrow m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow m - n\) và \(4m + 4n + 1\) là số chính phương (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link