Tìm bộ ba số nguyên không âm \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 54 = 2{y^2} +

Câu hỏi số 371921:

Vận dụng

Tìm bộ ba số nguyên không âm \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}\\5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}\end{array} \right.\,\,\left( {y > z} \right)\) và tổng \(x + y + z\) nhỏ nhất.

A. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {4;5;3} \right)\)

B. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2;5;1} \right)\)

C. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {4;7;1} \right)\)

D. \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {3;6;2} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:371921

Phương pháp giải

Triệt tiêu \(x\), đưa phương trình về dạng ước số.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 54 = 2{y^2} + 4{z^2}\\5{x^2} + 74 = 3{y^2} + 7{z^2}\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{x^2} + 270 = 10{y^2} + 20{z^2}\\15{x^2} + 222 = 9{y^2} + 21{z^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} - {z^2} = 48\).

\( \Leftrightarrow \left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right) = {2^4}.3\).

Do \(y,\,\,z\) là hai số nguyên không âm và \(y > z \Rightarrow 0 < y - z < y + z\).

Ta có: \({y^2} - {z^2} = 48\) chẵn nên \(y,\,\,z\) cùng tính chẵn lẻ nên \(y - z\) và \(y + z\) là hai số chẵn.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 6\\y + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 7\\z = 1\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(x = 4\) (\(x \ne - 4\) vì \(x\) không âm).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 2\\y + z = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 13\\z = 11\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) tính được \(x = 16\) (\(x \ne - 16\) vì \(x\) không âm).

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}y - z = 4\\y + z = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8\\z = 4\end{array} \right.\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\) tính được \(x = \pm \sqrt {46} \) (loại vì \(x\) nguyên).

Do đó \(x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1\) hoặc \(x = 16,\,\,y = 13,\,\,z = 11\).

Mà để tổng \(x + y + z\) nhỏ nhất thì \(x = 4,\,\,y = 7,\,\,z = 1\).

Vậy \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {4;7;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link