Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2.3 + 2.3.4 + ... + n\left( {n + 1}

Câu hỏi số 373890:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta luôn có \(1.2.3 + 2.3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373890

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \(1.2.3 + 2.3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1.2.3 = 6,\,\,\,VP = \dfrac{{1.2.3.4}}{4} = 6 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là:

\({S_k} = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4}\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)}}{4}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4} + \dfrac{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\left( {k + 4} \right)}}{5}\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.