Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\) ta luôn có \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}}

Câu hỏi số 373891:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\) ta luôn có \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373891

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{n + 1}}{{2n}}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4},\,\,\,VP = \dfrac{{2 + 1}}{{2.2}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), nghĩa là: \({S_k} = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{k^2}}}} \right) = \dfrac{{k + 1}}{{2k}}\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\({S_{k + 1}} = \left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{k^2}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \dfrac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k}\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = \dfrac{{k + 1}}{{2k}}\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k + 1}}{{2k}}.\dfrac{{{k^2} + 2k + 1 - 1}}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{k^2} + 2k}}{{2k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{{k + 2}}{{2\left( {k + 1} \right)}}\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.