Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\) ta luôn có \({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n -

Câu hỏi số 373889:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\) ta luôn có \({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right){n^2} = \dfrac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:373889

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Đặt \({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right){n^2} = \dfrac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \(VT = {1.2^2} = 4,\,\,\,VP = \dfrac{{2.\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)}}{{12}} = \dfrac{{2.3.8}}{{12}} = 4 \Rightarrow VT = VP\).

Như vậy (1) đúng khi \(n = 2\).

Bước 2: Đặt \(VT = {S_n}\). Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 2\), nghĩa là:

\({S_k} = {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = \dfrac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}}\) (Giả thiết quy nạp).

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\). Tức là

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left( {3k + 5} \right)}}{{12}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\).

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {S_k} + k{\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}} + \dfrac{{12k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{12}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]}}{{12}} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} - k - 2 + 12k + 12} \right)}}{{12}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)}}{{12}} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{3}\end{array}\).

Như vậy (2) đã được chứng minh.

Kết luận: Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), \(n \ge 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.