Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện

Câu hỏi số 376411:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\
{x.{y^2}.{z^3} = 1}
\end{array}\)

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376411

Phương pháp giải

Đưa hệ phương trình về hệ đơn giản để giải.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.9^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.27^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.3^{2.\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.3^{3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}} = 6\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}}\\ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}\\ \ge 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^3}}}\\ = 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{{\left( {x.{y^2}.{x^3}} \right)}^2}}}}} = 6\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {y^2} = {z^2} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 1; - 1} \right);\left( { - 1;1; - 1} \right);\left( {1; - 1;1} \right);\left( {1;1;1} \right)} \right\}\).

Vậy có 4 bộ số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.