Cho đồ thị \(\left( C \right)\): \(y = {x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22\) và đường thẳng \(d:y = mx

Câu hỏi số 377430:

Vận dụng cao

Cho đồ thị \(\left( C \right)\): \(y = {x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22\) và đường thẳng \(d:y = mx + {m^2} + 6\), trong đó \(m\) là tham số thực và \(m \le 1\). Biết rằng đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \(M,\,\,N,\,\,P\). Tính giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ \(M,\,\,N,\,\,P\) đến trục hoành?

A. \(12\)

B. \(18\)

C. \(15\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377430

Phương pháp giải

- Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\).

- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt.

- Khoảng cách từ \(A\left( {a;b} \right)\) đến trục hoành chính là \(\left| b \right|\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(\left( C \right)\): \(y = {x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22\).

\(\left( d \right):\,\,y = mx + {m^2} + 6\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22 = mx + {m^2} + 6\\ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 9mx - 18m + 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) - \left( {4{x^2} - 16} \right) + \left( {9mx - 18m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {4x + 8} \right) + 9m\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 9m - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + 9m - 8 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt hay pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{2^2} - 4.2 + 9m - 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 9m + 8 > 0\\9m \ne 12\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{4}{3}\).

Với \(m < \dfrac{4}{3}\) thì \(d\)cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt là \(M\left( {2;{m^2} + 2m + 6} \right)\), \(N\left( {{x_1};m{x_1} + {m^2} + 6} \right)\) và \(P\left( {{x_2};m{x_2} + {m^2} + 6} \right)\) trong đó \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}.{x_2} = 9m - 8\end{array} \right.\).

Tổng khoảng cách từ 3 điểm \(M\), \(N,\)\(P\) đến trục hoành là:

\(\begin{array}{l}A = \left| {{m^2} + 2m + 6} \right| + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6} \right| + \left| {m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\\ \Leftrightarrow A = {m^2} + 2m + 6 + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6} \right| + \left| {m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\end{array}\)

Áp dụng BĐT về dấu giá trị tuyệt đối ta có :

\(\begin{array}{l}A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6 + m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\\ \Leftrightarrow A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + \left| {2{m^2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 12} \right|\\ \Leftrightarrow A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + 2\left( {{m^2} + 2m + 6} \right) = 3\left( {{m^2} + 2m + 6} \right) = 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 15 \ge 15\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất từ \(M,\)\(N,\)\(P\) đến trục hoành bằng 15

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.