Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy là \(2a\), mặt bên tạo với mặt đáy một góc

Câu hỏi số 377440:

Thông hiểu

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy là \(2a\), mặt bên tạo với mặt đáy một góc \({60^0}\). Tính thế tích của khối chóp \(S.ABC\)?

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

C. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \({a^3}\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:377440

Phương pháp giải

- Tìm góc tạo bởi mặt bên và đáy.

- Tính chiều cao của khối chóp

- Thể tích của khối chóp được tính bởi công thức: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}h.{S_{ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(D\) là trung điểm \(BC\).

\(S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mp đáy là trọng tâm \(G\) của đáy

Suy ra \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BC\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(AD \bot BC\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SD \in \left( {SBC} \right),SD \bot BC\\AD \in \left( {ABC} \right),AD \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle SDA\).

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \) nên \(\angle SDA = {60^0}\).

Lại có:\(AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \sqrt 3 a \Rightarrow DG = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\).

\(\begin{array}{l}SG = GD\tan \widehat {SDA} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\tan 60^\circ = a\\{S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.A{B^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.4{a^2} = \sqrt 3 {a^2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\sqrt 3 {a^3} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.