Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\),
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\), \(B\left( {0;\sin \alpha \cos \beta ;0} \right)\), \(C\left( {0;0;\cos \alpha } \right)\), trong đó \(\alpha ,\beta \) là hai số thực thay đổi. Biết rằng tập hợp tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp \(O.ABC\) là một mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R\) không đổi. Tìm \(R\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Tìm tâm \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(OABC\).
- Chứng minh \(OI\) không đổi.
\(A\left( {\sin \alpha \sin \beta ;0;0} \right)\) nên \(A\) nằm trên trục \(Ox\)
\(B\left( {0;\sin \alpha \cos \beta ;0} \right)\) nên \(B\) nằm trên trục \(Oy\)
\(C\left( {0;0;cos\alpha } \right)\) nên C nằm trên trục \(Oz\)
Do đó \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(OC\)
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên trung điểm \(M\) của \(AB\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\).
Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với mp\(\left( {OAB} \right)\)
Dựng mặt phẳng trung trực đi qua \(N\) của \(OC\) cắt \(d\) tại \(I\). Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).
Tứ giác \(OMIN\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó \(IM = ON = \dfrac{{OC}}{2}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}O{I^2} = O{M^2} + I{M^2}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{OC}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2}}}{4} + \dfrac{{O{C^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\left( {\sin \alpha \sin \beta } \right)}^2} + {{\left( {\sin \alpha \cos \beta } \right)}^2} + {{\left( {\cos \alpha } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\beta + {{\cos }^2}\beta } \right) + {{\cos }^2}\alpha }}{4}\\ \Leftrightarrow O{I^2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{4} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Suy ra \(I\) nằm trên mặt cầu tâm \(O\) bán kính không đổi \(R = \dfrac{1}{2}\).
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
