Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích

Câu hỏi số 378309:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó, thể tích của khối chóp bằng:

A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)

B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378309

Phương pháp giải

+ Đặt \(SA = b\), từ giả thiết: diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy, tính \(b\) theo \(a\).

+ Áp dụng công thức tính thể tích \(V = \frac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Gọi khối chóp đều là \(S.ABCD\).

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) và đặt \(SA = b\) ta có:

\(\Delta SAB\) cân tại \(A \Rightarrow SH \bot AB\).

Xét tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SH.AB = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a\).

\( \Rightarrow {S_{xq}} = 4{S_{\Delta SAB}} = 2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a\), \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Theo bài ra ta có: \({S_{xq}} = 2{S_{ABCD}} \Rightarrow 2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a = 2{a^2}\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a \Leftrightarrow {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Leftrightarrow b = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

\( \Rightarrow SH = a\).

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OH \Rightarrow \Delta SOH\) vuông tại \(O\).

Xét tam giác vuông \(SOH\) có \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.