Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{4^{\sin

Câu hỏi số 378308:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{4^{\sin x}} + m{{.6}^{\sin x}}}}{{{9^{\sin x}} + {4^{1 + \sin x}}}}\) không nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\).

A. \(m \ge \frac{2}{3}\)

B. \(\frac{2}{3} \le m \le \frac{{13}}{{18}}\)

C. \(m \ge \frac{{13}}{{18}}\)

D. \(m > \frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378308

Phương pháp giải

+ Chia cả tử và mẫu cho \({9^{\sin x}}\).

+ Giải bất phương trình \(y \ge \frac{1}{3}\), sử dụng BĐT Cô-si để đánh giá.

Giải chi tiết

\(y = \frac{{{4^{\sin x}} + m{{.6}^{\sin x}}}}{{{9^{\sin x}} + {4^{1 + \sin x}}}} = \frac{{{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{\sin x}} + m{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\sin x}}}}{{1 + 4.{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^{\sin x}}}}\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\sin x}}\) ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1\,\,\forall x \Rightarrow \frac{3}{2} \ge t \ge \frac{2}{3}\).

Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + mt}}{{1 + 4{t^2}}}\) trên \(\left[ {\frac{2}{3};\frac{3}{2}} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}y = f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + mt}}{{1 + 4{t^2}}} \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{t + m}}{{\frac{1}{t} + 4t}} \ge \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3t + 3m \ge \frac{1}{t} + 4t \Leftrightarrow 3m \ge \frac{1}{t} + t \ge 2\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\end{array}\)

Vậy \(m \ge \frac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.