1. Một con thuyền ở địa điểm \(D\) di chuyển từ bờ sông \(a\) sang bờ sông \(b\) với vận

Câu hỏi số 378574:

Vận dụng

1. Một con thuyền ở địa điểm \(D\) di chuyển từ bờ sông \(a\) sang bờ sông \(b\) với vận tốc trung bình là \(2km/h,\) vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong \(20\) phút. Biết đường đi con thuyền là \(DE\), tạo với bờ sông một góc bằng \(60^\circ .\) Tính chiều rộng khúc sông.

2. Lấy điểm \(A\) trên \(\left( {O;R} \right),\) vẽ tiếp tuyến \(Ax.\) Trên \(Ax\) lấy điểm \(B,\) trên \(\left( {O;R} \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(BC = AB.\)

a) Chứng minh rằng : \(CB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)

b) Vẽ đường kính \(AD\) của \(\left( O \right),\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AD.\)

Chứng minh rằng : \(CD//OB\) và \(BC.DC = CK.OB.\)

c) Lấy \(M\) trên cung nhỏ \(AC\) của \(\left( O \right),\) vẽ tiếp tuyến tại \(M\)cắt \(AB,\,BC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Vẽ đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \(BFE.\) Chứng minh rằng : \(\Delta MAC \sim \Delta \,IFE.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378574

Phương pháp giải

1. Kẻ \(DH \bot b\) tại \(H.\) Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để suy ra chiều rộng khúc sông.

2. a) Chứng minh \(BC \bot OC\) dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau. Từ đó suy ra \(BC\) là tiếp tuyến của đường tròn thông qua định nghĩa tiếp tuyến.

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, quan hệ từ vuông góc đến song song.

Tính chất hai tam giác đồng dạng.

c) Kẻ đường kính \(CP.\)

Sử dụng tính chất: Góc ngoài tại 1 đỉnh của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.

Sử dụng: Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng \({360^0}.\)

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác.

Giải chi tiết

1. Tính chiều rộng khúc sông.

Kẻ \(DH \bot b\) tại \(H.\) Khi đó chiều rộng khúc sông là đoạn \(DH.\)

Đổi \(20\) phút \( = \frac{1}{3}h.\)

Độ dài đường đi của thuyền là \(DE = \frac{1}{3}.2 = \frac{2}{3}km\)

Ta có \(\angle HDE = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Xét tam giác \(DHE\) vuông tại \(H\), theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

\(\cos \angle HDE = \frac{{DH}}{{DE}} \Rightarrow DH = DE.\cos {30^0} = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy chiều rộng khúc sông là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\,km.\)

2. Lấy điểm \(A\) trên \(\left( {O;R} \right),\) vẽ tiếp tuyến \(Ax.\) Trên \(Ax\) lấy điểm \(B,\) trên \(\left( {O;R} \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(BC = AB.\)

a) Chứng minh rằng : \(CB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta CBO\) có:

+) \(AB = BC\left( {gt} \right)\)

+) \(BO\) cạnh chung

+) \(OA = OC\left( { = R} \right)\)

Nên \(\Delta ABO = \Delta CBO\left( {c - c - c} \right)\)

Suy ra \(\angle BCO = \angle BAO = {90^0}\), do đó: \(BC \bot OC\) tại \(C\).

Hay \(BC\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right).\)

b) Vẽ đường kính \(AD\) của \(\left( O \right),\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AD.\)

Chứng minh rằng : \(CD//OB\) và \(BC.DC = CK.OB.\)

*) Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(\Delta ACD\) nội tiếp đường tròn có cạnh \(AD\) là đường kính nên \(\Delta ACD\) vuông tại \(C.\)

Hay \(AC \bot CD\).

+) Xét đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có \(BA,BC\) là các tiếp tuyến cắt nhau tại \(B\) nên \(BA = BC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra \(B\) thuộc đường trung trực của đoạn \(AC.\)

Lại có \(OA = OC = R\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của đoạn \(AC.\)

Từ đó \(OB\) là đường trung trực của đoạn \(AC \Rightarrow OB \bot AC.\)

Lại có \(AC \bot CD\left( {cmt} \right)\) nên \(OB//CD.\)

*) Xét \(\Delta CKD\) và \(\Delta BAO\) có:

+) \(\angle K = \angle BAO = {90^0}\)

+) \(\angle CDK = \angle AOB\) (hai góc ở vị trí đồng vị)

Nên \(\Delta CDK\) đồng dạng với \(\Delta BAO\,\,\,\left( {g - g} \right)\)

Suy ra \(\frac{{CK}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{OB}} \Leftrightarrow OB.CK = DC.AB\)

Mà \(AB = BC\) (gt) nên \(OB.CK = BC.DC\) (đpcm)

c) Lấy \(M\) trên cung nhỏ \(AC\) của \(\left( O \right),\) vẽ tiếp tuyến tại \(M\)cắt \(AB,\,BC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Vẽ đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \(BFE.\) Chứng minh rằng : \(\Delta MAC \sim \Delta \,IFE.\)

Kẻ đường kính \(CP\) của \(\left( {O;R} \right)\)

Ta có: \(\angle POA\) là góc ngoài của tam giác \(OAC\) nên \(\angle POA = \angle OCA + \angle OAC\) mà \(\angle OAC = \angle OCA\) (do tam giác \(OCA\) cân tại \(O\)) nên \(\angle POA = 2\angle ACO.\)

Lại có \(\angle POM\) là góc ngoài của tam giác \(OCM\) nên \(\angle POM = \angle OCM + \angle OMC\) mà \(\angle OCM = \angle OMC\) (do tam giác \(OCM\) cân tại \(O\)) nên \(\angle POM = 2\angle MCO.\)

Do đó: \(\angle POM - \angle POA = 2\left( {\angle MCO - \angle ACO} \right)\) hay \(\angle MOA = 2\angle MCA.\)

Xét tứ giác \(EMOA\) có \(\angle EAO = \angle EMO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến)

Nên \(\angle MOA + \angle AEM = {360^0} - \left( {\angle EAO + \angle EMO} \right) = {180^0}\)

Mà \(\angle AEM + \angle BEF = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Nên \(\angle MOA = \angle BEF\) (cùng bù với \(\angle AEM\))

Lại có \(\angle BEF = 2\angle IEF\) (do \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BEF\))

Và \(\angle MOA = 2\angle MCA\) (cmt)

Suy ra \(\angle IEF = \angle MCA\)

Chứng minh tương tự:

Ta có \(\angle DOM\) là góc ngoài của tam giác cân \(AOM \Rightarrow \angle DOM = 2\angle MAO\)

\(\angle DOC\) là góc ngoài của tam giác cân \(AOC \Rightarrow \angle DOC = 2\angle CAO\)

Trừ vế với vế ta được: \(\angle MOC = 2\angle MAC\)

Lại có \(\angle MFC + \angle MOC = {360^0} - \left( {\angle FMO - \angle CFO} \right) = {180^0}\)

Và \(\angle MFC + \angle BFE = {180^0} \Rightarrow \angle BFE = \angle COM\)

Mà \(\angle COM = 2\angle MAC;\,\,\,\,\angle BFE = 2\angle IFE\) nên \(\angle IFE = \angle MAC\)

Xét tam giác \(IEF\) và tam giác \(MCA\) có: \(\angle IFE = \angle MAC\) và \(\angle IEF = \angle MCA\) (cmt) nên \(\Delta IEF\) đồng dạng với \(\Delta MCA\)(đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link