Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AD = a,\,AB = x\left( {x > 0} \right),\,K\) là trung điểm của \(AD.\) a)

Câu hỏi số 379523:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AD = a,\,AB = x\left( {x > 0} \right),\,K\) là trung điểm của \(AD.\)

a) (1 điểm) Biểu diễn \(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BK} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AD} .\)

b) (0,5 điểm) Tìm \(x\) theo \(a\) để \(AC \bot BK.\)

c) (0,5 điểm) Đặt hình chữ nhật \(ABCD\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A\left( {1;5} \right),\,C\left( {6;0} \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BK\) và \(AC,\) tìm tọa độ điểm \(I.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379523

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc hình bình hành và xen điểm thích hợp.

b) Hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc nếu \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).

c) Sử dụng định lí Talet suy ra mối quan hệ giữa các véc tơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {IC} \).

Giải chi tiết

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {BK} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AD} .\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \).

b) Tìm \(x\) theo \(a\) để \(AC \bot BK.\)

\(AC \bot BK \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BK} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}A{D^2} - A{B^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}A{D^2} - A{B^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{a^2} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

c) Đặt hình chữ nhật \(ABCD\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A\left( {1;5} \right),\,C\left( {6;0} \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BK\) và \(AC,\) tìm tọa độ điểm \(I.\)

Ta có: \(AK//BC \Rightarrow \frac{{AI}}{{IC}} = \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1;y - 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {6 - x; - y} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\x = \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.