Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + {m^3}\) có hai điểm

Câu hỏi số 379897:

Vận dụng

Tìm \(m\) để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + {m^3}\) có hai điểm cực trị \(A,\,B\) sao cho \(AB = \sqrt 2 .\)

A. \(m = 2.\)

B. \(m = 0.\)

C. \(m = 1.\)

D. \(m = 0\) hoặc \(m = 2.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379897

Phương pháp giải

Giải phương trình \(y' = 0\) tìm tọa độ hai điểm \(A,B\)

Từ đó sử dụng \(AB = \sqrt 2 \) để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\)

Có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2}\)

Để hàm số có hai cực trị thì \(\Delta > 0 \Leftrightarrow \) \({\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)

Hoành độ hai điểm cực trị: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + 1 + m - 1}}{2} = m \Rightarrow y = 3{m^2}\\{x_2} = \dfrac{{m + 1 - m + 1}}{2} = 1 \Rightarrow y = {m^3} + 3m - 1\end{array} \right.\)

Từ đó ta có: \(A\left( {m;3{m^2}} \right),B\left( {1;{m^3} + 3m - 1} \right)\)

\(AB = \sqrt 2 \Leftrightarrow A{B^2} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {{m^3} - 3{m^2} + 3m - 1} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^6} = 2\end{array}\)

Đặt \({\left( {m - 1} \right)^2} = t \ge 0 \Rightarrow {t^3} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow m - 1 = \pm 1 \Rightarrow m = 2\) hoặc \(m=0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.