Cho \(\left( {O;R} \right),\) lấy điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng bằng \(2R.\) Kẻ các tiếp tuyến

Câu hỏi số 380749:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;R} \right),\) lấy điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng bằng \(2R.\) Kẻ các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm). Đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(OB\) cắt \(AC\) tại \(K.\)

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) theo \(R.\)

b) Tính số đo góc \(BOA.\)

c) Chứng minh tam giác \(OAK\) cân tại \(K.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380749

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Pytago

b) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

c) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất hai đường thẳng song song để chỉ ra tam giác \(OKA\) có hai góc \(\angle OAK,\,\,\angle KOA\) bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) theo \(R.\)

Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(AB \bot OB\) tại \(B\)

Xét tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\) có \(OA = 2R\left( {gt} \right),OB = R\). Theo định lý Pytago ta có:

\(A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = 4{R^2} - {R^2} = 3{R^2}\) nên \(AB = R\sqrt 3 .\)

b) Tính số đo góc \(BOA.\)

Xét tam giác \(OAB\) vuông tại \(B\) có \(OA = 2R\left( {gt} \right),OB = R\) nên theo tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có: \(\cos \widehat {BOA} = \dfrac{{OB}}{{OA}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(\widehat {BOA} = {60^0}.\)

c) Chứng minh tam giác \(OAK\) cân tại \(K.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB,AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) (tính chất) hay \(\widehat {BAO} = \widehat {OAK}\) (1)

Lại có \(AB \bot OB\left( {cmt} \right)\) và \(OK \bot OB\left( {gt} \right)\) suy ra \(OK//AB\)

Do đó: \(\widehat {BAO} = \widehat {AOK}\) (2) (hai góc ở vị trí so le trong)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {KOA} = \widehat {KAO}\,\,\left( { = \widehat {BAO}} \right)\) suy ra tam giác \(OKA\) cân tại \(K\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link