Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn : \(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3 \) và

Câu hỏi số 380750:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn :

\(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3 \) và \(\sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} = 3.\)

Tính giá trị của biểu thức \(M = {\left( {2\sqrt a + 3\sqrt b - 4\sqrt c } \right)^2}.\)

A. \(M = 1\)

B. \(M = \frac{1}{2}\)

C. \(M = \frac{1}{3}\)

D. \(M = \frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380750

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(a,b\) ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu = xảy ra khi \(a = b.\)

Sử dụng các hằng đẳng thức: \({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2},\) \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + xz + yz} \right)\)

Giải chi tiết

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn :

Tính giá trị của biểu thức \(M = {\left( {2\sqrt a + 3\sqrt b - 4\sqrt c } \right)^2}.\)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(b + c \ge 2\sqrt {bc} ,\,a + c \ge 2\sqrt {ac} ,\,a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Xét \(\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) = {a^2} + 2ac + 2ab + 4bc\) \( = {a^2} + 2a\left( {b + c} \right) + 4bc \ge {a^2} + 2a.2\sqrt {bc} + 4bc\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) \ge {a^2} + 4a\sqrt {bc} + 4bc\) hay \(\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) \ge {\left( {a + 2\sqrt {bc} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} \ge a + 2\sqrt {bc} \)

Tương tự ta có: \(\sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} \ge b + 2\sqrt {ac} \)

\(\sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \ge c + 2\sqrt {ab} \)

Suy ra \(\sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \)\( \ge a + b + c + 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc} } \right)\)

Hay \(3 \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \Leftrightarrow 3 \ge 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Thay \(a = b = c = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:

\(M = {\left( {2 \cdot \sqrt {\frac{1}{3}} + 3 \cdot \sqrt {\frac{1}{3}} - 4\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)^2} = \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link