Cho \(\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} = 1\). Chứng minh \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} +

Câu hỏi số 380831:

Vận dụng cao

Cho \(\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} = 1\). Chứng minh \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380831

Phương pháp giải

Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với \(x + y + z \ne 0\).

Giải chi tiết

Cho \(\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} = 1\). Chứng minh \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\)

Nhận xét: Nếu \(x + y + z = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = - z\\x + z = - y\\y + z = - x\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} = - 3\).

Suy ra \(x + y + z \ne 0\).

Ta có : \(\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\)\( = x + y + z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{xy}}{{z + x}} + \frac{{xz}}{{x + y}} + \frac{{xy}}{{y + z}}\)\( + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{yz}}{{x + y}} + \frac{{xz}}{{y + z}} + \frac{{yz}}{{z + x}}\) \( + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\)\( = x + y + z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\)\( = \left( {x + y} \right)\frac{z}{{x + y}} + \left( {y + z} \right)\frac{x}{{y + z}} + \left( {z + x} \right)\frac{y}{{z + x}}\) \( = x + y + z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} + x + y + z = x + y + z\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link