Cho hình thang vuông \(ABCD\), \(A = D = 90^\circ \)có \(CD = 2AB = 2AD\). Kẻ \(BH\) vuông góc với \(CD\). a)

Câu hỏi số 380830:

Vận dụng

Cho hình thang vuông \(ABCD\), \(A = D = 90^\circ \)có \(CD = 2AB = 2AD\). Kẻ \(BH\) vuông góc với \(CD\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ABHD\) là hình vuông.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BH\). Chứng minh \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(M\).

c) Kẻ \(DI\) vuông góc với \(AC,\) \(DI,DM\) cắt \(AH\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Chứng minh \(\Delta ADP = \Delta HDQ\).

d) Tứ giác \(BPDQ\) là hình gì?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380830

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông : Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

b) Chứng minh \(ABCH\) là hình bình hành suy ra \(M\) là trung điểm \(AC\).

c) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g-c-g.

d) Sử dụng dấu hiệu nhận biết : Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác \(ABHD\) là hình vuông.

Ta có : \(\widehat {HDA} = \widehat {DAB} = \widehat {BHD} = 90^\circ \)\( \Rightarrow ABHD\) là hình chữ nhật.

Mà \(AB = AD\) \( \Rightarrow ABHD\) là hình vuông.

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BH\). Chứng minh \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(M\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB//DH\\AB = DH\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//HC\\AB = HC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow ABCH\) là hình bình hành (dhnb)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BH\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC\) (t/c)

Suy ra \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(M\).

c) Kẻ \(DI\) vuông góc với \(AC,\) \(DI,DM\) cắt \(AH\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Chứng minh \(\Delta ADP = \Delta HDQ\).

Ta có : \(\widehat {PDA} = \widehat {MAB}\) (cùng phụ góc \(MAD\)) (1)

Xét \(\Delta MHD\) và \(\Delta MBA\) có :

\(\begin{array}{l}\widehat H = \widehat B = {90^0}\\MH = MB\left( {gt} \right)\\DH = AB\left( {hv} \right)\end{array}\)

\(\Delta MHD = \Delta MBA\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {MDH}\) (2)

Từ (1) và (2)\( \Rightarrow \widehat {PDA} = \widehat {MDH}\)

Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta HDQ\) có :

\(\widehat {QDH} = \widehat {PDA}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {QHD} = \widehat {PAD} = 45^\circ \)

\(DH = DA\)

Vậy \(\Delta ADP = \Delta HDQ\,\,\,\left( {g.c.g} \right)\)

d) Tứ giác \(BPDQ\) là hình gì?

Gọi giao điểm của \(AH\) và \(DB\) là \(O\) \( \Rightarrow OB = OD\) (t/c) (3)

Ta có : \(\Delta ADP = \Delta HDQ\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow AP = QH\) (cạnh t/ư)

Mà \(OA = OH \Rightarrow OQ = OP\) (4)

Xét tứ giác \(BPDQ\) có \(\left\{ \begin{array}{l}OP = OQ\\OD = OB\,\,\left( {cmt} \right)\\BD \bot PQ\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BPDQ\) là hình thoi.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link