Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\)

Câu hỏi số 380922:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }};\) với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)

2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)

A. \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 3\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 5\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 4\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 2\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380922

Phương pháp giải

1) Rút gọn \(P.\) Thay \(x = 16\left( {tmdk} \right)\) vào \(P\) để tính toán

2) Rút gọn \(Q\) bằng cách trục căn thức ở mẫu rồi tính \(Q + \sqrt 2 .\)

3) Đánh giá mẫu thức rồi suy ra điều kiện của tử thức

Giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Thay \(x = 16\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }}\) ta được :

\(P = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {16} }} = - \frac{1}{4}.\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(P = - \frac{1}{4}.\)

2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2,\,\,\,x \ne 3.\)

\(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}\\\,\,\, = \sqrt x + \sqrt {x - 1} - \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)\\\,\,\, = \sqrt x - \sqrt 2 .\end{array}\)

Từ đó \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x - \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt x \)

Vậy \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)

Ta có: \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }};Q = \sqrt x - \sqrt 2 \) với \(x > 1;x \ne 2;x \ne 3\)

Nên \(M = P.Q = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)

Để \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0\)

Với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) thì \(\sqrt x > 0\)

Nên \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt x \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\)

Kết hợp điều kiện \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) ta có \(1 < x < 2\)

Vậy \(1 < x < 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link