Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\)

Câu hỏi số 380922:

Vận dụng

Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }};\) với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)

2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)

A. \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 3\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 5\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1)\,\,\frac{1}{2}\\3)\,\,1 < x < 4\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1)\,\, - \frac{1}{4}\\3)\,\,1 < x < 2\end{array}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380922

Phương pháp giải

1) Rút gọn \(P.\) Thay \(x = 16\left( {tmdk} \right)\) vào \(P\) để tính toán

2) Rút gọn \(Q\) bằng cách trục căn thức ở mẫu rồi tính \(Q + \sqrt 2 .\)

3) Đánh giá mẫu thức rồi suy ra điều kiện của tử thức

Giải chi tiết

1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\)

Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x }}.\end{array}\)

Thay \(x = 16\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }}\) ta được :

\(P = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {16} }} = - \frac{1}{4}.\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(P = - \frac{1}{4}.\)

2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2,\,\,\,x \ne 3.\)

\(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}\\\,\,\, = \sqrt x + \sqrt {x - 1} - \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)\\\,\,\, = \sqrt x - \sqrt 2 .\end{array}\)

Từ đó \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x - \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt x \)

Vậy \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\)

3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)

Ta có: \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }};Q = \sqrt x - \sqrt 2 \) với \(x > 1;x \ne 2;x \ne 3\)

Nên \(M = P.Q = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)

Để \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0\)

Với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) thì \(\sqrt x > 0\)

Nên \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt x \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\)

Kết hợp điều kiện \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) ta có \(1 < x < 2\)

Vậy \(1 < x < 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link