Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt

Câu hỏi số 380927:

Vận dụng cao

Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}} + \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\)

A. \(\max T = 1\)

B. \(\max T = 0\)

C. \(\max T = 2\)

D. Không tồn tại \(\max T\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380927

Phương pháp giải

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Giải chi tiết

Với \(a > 0\) ta có hệ thức :

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - 2\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}}\\ = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - \frac{2}{a} + \frac{2}{{a + 1}}\\ = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Nên \(\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = \left| {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}} \right| = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}\)

Khi đó: \(T = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}} + \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Giả sử \(M > 0\) là giá trị lớn nhất của \(T.\)

Khi đó nếu ta chọn \(\frac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{M + 1}} \in \left( {0;1} \right);\,y = 2 - \frac{1}{{M + 1}} > 0\) khi đó ta có \(x,y\) vừa chọn thỏa mãn là các số dương và \(x + y = 2.\)

Với bộ \(x,y\) vừa chọn ta có \(T = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 2 + M + 1.\)

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link