Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = \sqrt

Câu hỏi số 380927:

Vận dụng cao

Với hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(x + y = 2.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}} + \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\)

A. \(\max T = 1\)

B. \(\max T = 0\)

C. \(\max T = 2\)

D. Không tồn tại \(\max T\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380927

Phương pháp giải

Đánh giá và chọn ra bộ số thích hợp để chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Giải chi tiết

Với \(a > 0\) ta có hệ thức :

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - 2\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}}\\ = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 1}} - \frac{2}{a} + \frac{2}{{a + 1}}\\ = 1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Nên \(\sqrt {1 + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} = \left| {1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}} \right| = 1 + \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}\)

Khi đó: \(T = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}} + \frac{4}{{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Ta sẽ chứng minh không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Giả sử \(M > 0\) là giá trị lớn nhất của \(T.\)

Khi đó nếu ta chọn \(\frac{1}{x} = M + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{M + 1}} \in \left( {0;1} \right);\,y = 2 - \frac{1}{{M + 1}} > 0\) khi đó ta có \(x,y\) vừa chọn thỏa mãn là các số dương và \(x + y = 2.\)

Với bộ \(x,y\) vừa chọn ta có \(T = 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 2 + M + 1.\)

Vậy không tồn tại giá trị lớn nhất của \(T.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link