Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(3a\), gọi \({G_1},\,\,{G_2},\,\,{G_3},\,\,{G_4}\) là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện \(ABCD\). Tính thể tích \(V\) của khói tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\).

Câu 381158: Cho khối tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(3a\), gọi \({G_1},\,\,{G_2},\,\,{G_3},\,\,{G_4}\) là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện \(ABCD\). Tính thể tích \(V\) của khói tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

B. \(V = \dfrac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{{32}}.\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}.\)

Câu hỏi : 381158

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số để tính độ dài cạnh đáy và chiêu cao của hình chóp.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi H,K lần lượt là trung điểm của BC,BD.

\( \Rightarrow {G_1}{G_2} = \dfrac{2}{3}HK = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.CD = \dfrac{1}{3}CD = a\)

Do đó tam giác \({G_1}{G_2}{G_2}\) là tam giác đều cạnh a\( \Rightarrow {S_{{G_1}{G_2}{G_2}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Tứ diện đều ABCD có \({G_4}\) là trọng tâm tam giác đều BDC.

\( \Rightarrow A{G_4} \bot \left( {BCD} \right)\)

Tam giác \(A{G_4}B\) vuông tại \({G_4}\) có:

\(\begin{array}{l}AB = 3a;\,\,\,B{G_4} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.3a = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow A{G_4} = \sqrt {A{B^2} - BG_4^2} = a\sqrt 6 \end{array}\)

Mặt khác \(d\left( {{G_4};\left( {{G_1}{G_2}{G_2}} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}.A{G_4} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) vì \({G_4}\) là trọng tâm tam giác đều BDC.

Khi đó \({V_{{G_1}{G_2}{G_2}{G_4}}} = \dfrac{1}{3}.h.{S_{{G_1}{G_2}{G_2}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.