Cho \(x > y > 0\) thỏa mãn \(xy = 3\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A = \dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x -

Câu hỏi số 381758:

Vận dụng

Cho \(x > y > 0\) thỏa mãn \(xy = 3\). Tìm GTNN của biểu thức: \(A = \dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x - y}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381758

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x - y}}\)\( = \dfrac{{4{{\left( {x - y} \right)}^2} + 8xy + 1}}{{x - y}}\)\( = 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{25}}{{x - y}}\) .

Vì \(x > y > 0\) nên \(x - y > 0\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(4\left( {x - y} \right)\) và \(\dfrac{{25}}{{x - y}}\).

Ta có: \(A = 4\left( {x - y} \right) + \dfrac{{25}}{{x - y}}\)\( \ge 2\sqrt {4\left( {x - y} \right)\dfrac{{25}}{{x - y}}} = 20\) .

Dấu “\( = \)” xảy ra \(4\left( {x - y} \right) = \dfrac{{25}}{{x - y}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x - y = \dfrac{5}{2}\) (do \(x - y > 0\)).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{5}{2}\\xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{5}{2}\\\left( {y + \dfrac{5}{2}} \right)y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt {73} }}{4}\\y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {73} }}{4}\end{array} \right.\).

Vậy GTNN của \(A\) là \(20\), đạt được khi \(x = \dfrac{{5 + \sqrt {73} }}{4};\,\,\,y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {73} }}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link