Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Lấy \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(CC'\) và

Câu hỏi số 381785:

Vận dụng cao

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Lấy \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(CC'\) và \(O\) là tâm của đáy \(A'B'C'D'\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và mặt phẳng \((FOE)\). Tính tỉ số \(\dfrac{IC}{IB}\) và xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng \((FOE)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381785

Phương pháp giải

Gọi \(N\) là trung điểm của \(A'B'\), \(G\) là giao điểm của \(NC'\) với \(EF\).

Từ đó mở rộng mặt phẳng \(\left( {FOE} \right)\) rồi tìm giao tuyến của \(\left( {FOE} \right)\) với các mặt của hình hộp.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(A'B'\)\( \Rightarrow NE//FC'\) nên bốn điểm \(N,E,F,C\) đồng phẳng.

Trong \(\left( {NEFC} \right)\), gọi \(G = NC' \cap EF \Rightarrow G \in EF \subset \left( {FOE} \right)\).

Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi \(H,K\) lần lượt là giao điểm của \(GO\) với \(D'C',A'B'\)

Khi đó \(\left( {FOE} \right) \equiv \left( {GKE} \right)\).

Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(P = KE \cap B'B\) \( \Rightarrow P \in BB' \subset \left( {BCC'B'} \right)\)

Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\), gọi \(I = PF \cap BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BC\\I \in PF \subset \left( {GKE} \right) \equiv \left( {FOE} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = BC \cap \left( {FOE} \right)\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( {FOE} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = HK\\\left( {FOE} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = KE\\\left( {FOE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EI\\\left( {FOE} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = IF\\\left( {FOE} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = FH\end{array}\)

Thiết diện là ngũ giác \(EIFHK\).

Ta có, \(\dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{PB}}{{CF}}\), \(CF = \dfrac{1}{2}CC'\) \( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{CF}} = \dfrac{{PB}}{{\dfrac{1}{2}CC'}} = 2.\dfrac{{PB}}{{BB'}}\)

\(HC'//KN \Rightarrow \dfrac{{HC'}}{{KN}} = \dfrac{{GC'}}{{GN}}\)

Mà \(C'F//NE \Rightarrow \dfrac{{GC'}}{{GN}} = \dfrac{{C'F}}{{NE}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{HC'}}{{KN}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{A'K}}{{KN}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{A'K}}{{A'N}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{A'K}}{{A'B'}} = \dfrac{1}{6}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{A'N}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{K'N}}{{NB'}} \Rightarrow \dfrac{{K'N}}{{KB'}} = \dfrac{2}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{PB'}} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow \dfrac{{BB'}}{{PB'}} = \dfrac{2}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PB'}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{BB'}} = \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(\dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{PB}}{{CF}} = 2.\dfrac{{PB}}{{BB'}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.