Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\) với \(O\) là giao điểm hai đường chéo

Câu hỏi số 381784:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\) với \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA\) và \(SD.\)

1. Chứng minh \(MO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)

2. Gọi \(K\) là trung điểm của \(MO.\) Chứng minh rằng \(NK\) song song với \(\left( {SBC} \right).\)

3. Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right).\) Hỏi thiết diện là hình gì ?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381784

Phương pháp giải

1. Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset \left( P \right)\\a \subset \left( P \right)\\d//a\end{array} \right. \Rightarrow d//\left( P \right)\) để chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng.

Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}a,b \subset \left( P \right),a'b' \subset \left( Q \right)\\a \cap b = I,a' \cap b' = I'\\a//a',b//b'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\) để chứng minh hai mặt phẳng song song.

2. Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\\left( P \right)//\left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow d//\left( Q \right)\) để chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng.

3. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng đã cho với các mặt của hình chóp và suy ra thiết diện.

Giải chi tiết

1. Chứng minh \(MO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right).\)

Ta có: \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(MO//SC\).

Mà \(SC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MO//\left( {SBC} \right)\).

\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAD\) nên \(MN//AD\), mà \(AD//BC\) nên \(MN//BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN,MO \subset \left( {OMN} \right)\\BC,SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\).

2. Gọi \(K\) là trung điểm của \(MO.\) Chứng minh rằng \(NK\) song song với \(\left( {SBC} \right).\)

Dễ thấy \(NK \subset \left( {OMN} \right)\).

Mà \(\left( {OMN} \right)//\left( {SBC} \right)\) nên \(NK//\left( {SBC} \right)\).

3. Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right).\) Hỏi thiết diện là hình gì ?

Ta có:

\(BC \subset \left( {SBC} \right)//\left( {OMN} \right)\) nên \(BC//\left( {OMN} \right)\)

Mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ox//BC\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(CD,AB\) lần lượt tại \(E,F\).

Khi đó,

\(\begin{array}{l}\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = FM\\\left( {OMN} \right..) \cap \left( {SAD} \right) = MN\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NE\end{array}\)

\( \Rightarrow \) thiết diện là tứ giác \(MNEF\).

Mà \(MN//BC,EF//BC\) nên \(MN//EF\) hay thiết diện là hình thang \(MNEF\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.