Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 383520:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\), góc giữa \(\left( {SBC} \right),\,\,\left( {AMC} \right)\) thỏa mãn \(\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\). Thể tích khối đa diện \(SABCM\) bằng:

A. \(\dfrac{{5{a^3}}}{9}.\)

B. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}.\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383520

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Giải chi tiết

Đặt \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;x} \right)\), \(D\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\)\( \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} \left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)\\\overrightarrow {AC} \left( {1;1;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {AMC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \dfrac{x}{2};\dfrac{x}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} \left( {1;0; - x} \right)\\\overrightarrow {BC} \left( {0;1;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {x;0;1} \right)\) .

Ta có: \(\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\varphi } }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( \varphi \right) = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}} .\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + 1}}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 1} .\sqrt {{x^2} + 1} }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} + 1} \right) = 5\left( {2{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow SA = 2a\end{array}\)

Ta có: \({V_{SABCM}} = {V_{SABCD}} - {V_{SMACD}}\).

\(\dfrac{{{V_{MACD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{SABCM}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABCD}}\) \( = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.