Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 383520:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\), góc giữa \(\left( {SBC} \right),\,\,\left( {AMC} \right)\) thỏa mãn \(\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\). Thể tích khối đa diện \(SABCM\) bằng:

A. \(\dfrac{{5{a^3}}}{9}.\)

B. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}.\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:383520

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Giải chi tiết

Đặt \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;x} \right)\), \(D\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\)\( \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} \left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)\\\overrightarrow {AC} \left( {1;1;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {AMC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \dfrac{x}{2};\dfrac{x}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} \left( {1;0; - x} \right)\\\overrightarrow {BC} \left( {0;1;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {x;0;1} \right)\) .

Ta có: \(\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\varphi } }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( \varphi \right) = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}} .\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + 1}}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 1} .\sqrt {{x^2} + 1} }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} + 1} \right) = 5\left( {2{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow SA = 2a\end{array}\)

Ta có: \({V_{SABCM}} = {V_{SABCD}} - {V_{SMACD}}\).

\(\dfrac{{{V_{MACD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{SABCM}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABCD}}\) \( = \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.