Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với

Câu hỏi số 383520:

Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ , có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm $SD$ , góc giữa $\left( {SBC} \right),\,\,\left( {AMC} \right)$ thỏa mãn $\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$ . Thể tích khối đa diện $SABCM$ bằng:

\frac{5 a^{3}}{9} .

$\dfrac{{5{a^3}}}{9}.$

\frac{2 a^{3}}{3} .

$\dfrac{{2{a^3}}}{3}.$

\frac{a^{3}}{2} .

$\dfrac{{{a^3}}}{2}.$

\frac{a^{3}}{3} .

$\dfrac{{{a^3}}}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383520

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Giải chi tiết

Đặt $A\left( {0;0;0} \right)$ , $S\left( {0;0;x} \right)$ , $D\left( {0;1;0} \right)$ , $B\left( {1;0;0} \right)$ , $C\left( {1;1;0} \right)$ $\Rightarrow M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} \left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2}} \right)\\\overrightarrow {AC} \left( {1;1;0} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {AMC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \dfrac{x}{2};\dfrac{x}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} \left( {1;0; - x} \right)\\\overrightarrow {BC} \left( {0;1;0} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {x;0;1} \right)$ .

Ta có: $\tan \varphi = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$ $\Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\varphi } }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( \varphi \right) = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {AMC} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - {x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{4}} .\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + 1}}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 1} .\sqrt {{x^2} + 1} }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow 9\left( {{x^2} + 1} \right) = 5\left( {2{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow SA = 2a\end{array}$

Ta có: ${V_{SABCM}} = {V_{SABCD}} - {V_{SMACD}}$ .

$\dfrac{{{V_{MACD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{d\left( {M;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{4}$ .

$\Rightarrow {V_{SABCM}} = \dfrac{3}{4}{V_{S.ABCD}}$ $= \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{2}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.