Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị Có bao nhiêu số

Câu hỏi số 383521:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình \(\dfrac{{{m^3} + 4m}}{{8\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 2\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 2;6} \right]?\)

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:383521

Giải chi tiết

Ta có \(\dfrac{{{m^3} + 4m}}{{8\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = {f^2}\left( x \right) + 2\)

\( \Leftrightarrow {m^3} + 4m = 8\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \left( {{f^2}\left( x \right) + 2} \right)\)

Đặt \(t = \left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} } \right) \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {t^2} - 1\)

\( \Rightarrow t' = \dfrac{{f'\left( x \right).f\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 3\\x = 6\\x = 0\\x = {x_1} \in \left( {3;6} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Khi đó ta có \({m^3} + 4m = \left( {{t^2} + 1} \right).8t = 8{t^3} + 8t\)

Hàm số \(y = 8{t^3} + 8t:y' = 24{t^2} + 8 > 0 \Rightarrow \) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì \(t \in \left( {1;\sqrt 5 } \right)\)

Khi đó \(16 < {m^3} + 4m < 48\sqrt 5 ;m > 0;m \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \le 4\end{array} \right. \Rightarrow \in \left\{ {3;4} \right\}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.