Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số

Câu hỏi số 384541:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6mx + 1\) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng \(5.\)

A. \(3.\)

B. \(2.\)

C. \(10.\)

D. \(12.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384541

Phương pháp giải

Để hàm đa thức bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5 thì hệ số \(a > 0\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x - 6m\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x - m = 0\,\,\left( * \right)\)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng \(5\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5\).

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} + 4m > 0\).

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 4m > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0\)\( \Leftrightarrow m \ne - 1\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 25\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} + 4m = 25\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 4m = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 5\\m + 1 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 6\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.