Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lập thành một cấp số nhân và có thể tích bằng

Câu hỏi số 384562:

Vận dụng

Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước lập thành một cấp số nhân và có thể tích bằng \(1000\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đã cho.

A. \(600.\)

B. \(300.\)

C. \(300\sqrt 2 .\)

D. \(300\sqrt 3 .\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384562

Phương pháp giải

- Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\), theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(ac = {b^2}\).

- Sử dụng công thức thể tích khối hộp chữ nhật \(V = abc\), tính \(b,\,\,ac\).

- Công thức tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Gọi ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,\,\,b,\,\,c\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c > 0} \right)\), theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có \(ac = {b^2}\).

Thể tích khối hộp là \(abc = 1000 \Leftrightarrow {b^3} = 1000\)\( \Leftrightarrow b = 10\)\( \Rightarrow ac = {10^2} = 100\).

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 2b\left( {a + c} \right) + 2.ac\\\,\,\,\,\,\,\, = 20\left( {a + c} \right) + 200\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a,\,\,c\) ta có \(a + c \ge 2\sqrt {ac} = 2\sqrt {100} = 20\).

Khi đó \({S_{tp}} \ge 20.20 + 200 = 600\).

Vậy \({S_{tp\,\,\max }} = 600\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = c = 10\). Khi đó hình hộp chữ nhật là hình lập phương cạnh \(10\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.