Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\), tam giác \(SAD\) là tam giác đều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\), tam giác \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\)là trung điểm của \(AB,\) \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(AC,\) \(I\) là trung điểm của \(HC.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.MID.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Chứng minh tứ giác \(ADIM\) là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ADIM\).
- Tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\) là giao điểm của hai trục của 2 mặt \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {ADIM} \right)\).
- Áp dụng tính chất tam giác đều và định lí Pytago tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\).
+ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ACD\) ta có
\(AH.AC = A{D^2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{A{D^2}}}{{AC}} = \dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow HC = AC - AH = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow IH = IC = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
\( \Rightarrow D{H^2} = AH.HC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow DH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)\( = IH\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(HDI\) có: \(DI = \sqrt {D{H^2} + H{I^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}\).
Ta có: \(AI = AH + HI = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).
Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(\cos \angle BAC = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \cos \angle MAI\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(AIM\) có;
\(\begin{array}{l}M{I^2} = A{M^2} + A{I^2} - 2AM.AI.\cos \angle MAI\\M{I^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}} \right)^2} - 2.a.\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\\M{I^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{5} \Rightarrow MI = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\end{array}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADM\) có: \(DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = a\sqrt 2 \).
Xét tam giác \(DMI\) có \(D{M^2} = 2{a^2}\), \(D{I^2} + I{M^2} = {\left( {\dfrac{{2a\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} = 2{a^2}\)
\( \Rightarrow D{M^2} = D{I^2} + I{M^2}\)\( \Rightarrow \Delta DIM\) vuông tại \(I\)\( \Rightarrow \angle DIM = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ADIM\) có: \(\angle DAM = \angle DIM = {90^0}\).
\( \Rightarrow A,\,\,I\) thuộc đường tròn đường kính \(DM\).
Gọi \(O\) là trung điểm của \(DM\)\( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ADIM\).
Kẻ đường thẳng \(d\) qua \(O\) và \(d \bot \left( {ADIM} \right)\), suy ra \(d\) là trục của mặt phẳng \(\left( {ADIM} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow SE \bot AD\)\( \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(F\) là tâm tam giác đều \(SAD\) . Qua \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(OE\) cắt \(d\) tại \(O'\).
Ta có: \(OE\) là đường trung bình của tam giác \(ADM\)\( \Rightarrow OE\parallel AM\)\( \Rightarrow OE \bot AB\).
\(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB\\OE \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OE \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow O'F \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)\(O'F\) là trục của \(\Delta SAB\).
\( \Rightarrow O'S = O'A = O'B\).
Lại có \(O' \in d \Rightarrow O'A = O'D = O'I = O'M\).
\( \Rightarrow O'A = O'D = O'I = O'M = O'S\) \( \Rightarrow O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ADIM\).
+ Tính \(R = O'S\).
Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow SF = \dfrac{2}{3}SE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(EO\) là đường trung bình của tam giác \(ADM\)\( \Rightarrow EO = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{1}{2}a\)\( = O'F\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SFO'\) có: \(O'S = \sqrt {S{F^2} + O'{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy \(R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
