Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\\2x - 1 = \sqrt {2y - 2x + m} \end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Xét phương trình \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\).
Đặt \(t = {x^2} - 2y\) ta có: \(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right).\dfrac{{{7^2}}}{{{7^t}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} = {4.7^2} + {9^t}{.7^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{{4.7}^t} - {{4.7}^2}} \right) + \left( {{{9.3}^t}{{.7}^t} - {9^t}{{.7}^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} - {7^2}} \right) + \left( {{3^{t + 2}}{{.7}^t} - {3^{2t}}{{.7}^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} - {7^2}} \right) + {3^{t + 2}}{.7^2}\left( {{7^{t - 2}} - {3^{t - 2}}} \right) = 0\end{array}\)
Ta chứng minh phương trình trên có nghiệm duy nhất \(t = 2\).
TH1: \(t < 2 \Rightarrow {7^t} < {7^2}\).
\(t < 2 \Rightarrow t - 2 < 0 \Rightarrow {7^{t - 2}} < {3^{t - 2}}\).
Do đó \(VT < 0\,\,\forall t < 2\), phương trình vô nghiệm
TH2: \(t > 2 \Rightarrow {7^t} > {7^2}\)
\(t > 2 \Rightarrow t - 2 > 0 \Rightarrow {7^{t - 2}} > {3^{t - 2}}\).
Do đó \(VP > 0\,\,\forall t > 2\), phương trình vô nghiệm.
\( \Rightarrow \) Phương trình trên có nghiệm duy nhất \(t = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2y = 2\) \( \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2\).
Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
\(2x - 1 = \sqrt {{x^2} - 2 - 2x + m} \) có nghiệm \( \Leftrightarrow 2x - 1 = \sqrt {{x^2} - 2m + m - 2} \) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\4{x^2} - 4x + 1 = {x^2} - 2x + m - 2\end{array} \right.\) có nghiệm.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\3{x^2} - 2x + 3 = m\end{array} \right.\) có nghiệm.
Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) ta có \(f'\left( x \right) = 6x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(3{x^2} - 2x + 3 = m\) có nghiệm \(x \ge \dfrac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(m \ge \dfrac{{11}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
