Biết rằng tập các số thực \(m\)để bất phương trình \(mx - \sqrt {x - 3} \le m + 1\) vô nghiệm

Câu hỏi số 384590:

Vận dụng

Biết rằng tập các số thực \(m\)để bất phương trình \(mx - \sqrt {x - 3} \le m + 1\) vô nghiệm là \(\left( {\dfrac{{a + \sqrt b }}{4}; + \infty } \right)\), với \(a\) và \(b\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(a + b\).

A. \(7.\)

B. \(8.\)

C. \(4.\)

D. \(5.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:384590

Phương pháp giải

Cô lập \(m\) đưa bất phương trình về \(m \le f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp hàm số tìm điều kiện.

Giải chi tiết

ĐK: \(x \ge 3\).

Khi đó \(mx - \sqrt {x - 3} \le m + 1\)\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right) \le 1 + \sqrt {x - 3} \)\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{x - 1}}\) (do \(x - 1 > 0\))

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{x - 1}}\) trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt {x - 3} }}\left( {x - 1} \right) - \left( {1 + \sqrt {x - 3} } \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{x - 1 - 2\sqrt {x - 3} - 2\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\sqrt {x - 3} }}\)\( = \dfrac{{ - x + 5 - 2\sqrt {x - 3} }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\sqrt {x - 3} }}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 5 = 2\sqrt {x - 3} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x \ge 0\\{x^2} - 10x + 25 = 4x - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\{x^2} - 14x + 37 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 5\\\left[ \begin{array}{l}x = 7 + 2\sqrt 3 \\x = 7 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 7 - 2\sqrt 3 \in \left( {3; + \infty } \right)\)

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy, để bất phương trình vô nghiệm thì \(m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {3; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \(m \in \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{4}; + \infty } \right)\) hay \(a = 1,b = 3 \Rightarrow a + b = 4\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.