Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(N\) là trung điểm của \(SB\), \(Q\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(N\) là trung điểm của \(SB\), \(Q\) là điểm thuộc cạnh \(SD\) sao cho \(DQ = 3SQ\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(NQ\) và cắt các cạnh \(SA,\,\,SC\) lần lượt tại \(M,\,\,P\). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Lấy \(M \in SA\), trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = NQ \cap SO\). Trong \(\left( {SAC} \right)\) kéo dài \(MI\) cắt \(SC\) tại \(P\).
Đặt \(\frac{{SM}}{{SA}} = x,\,\,\frac{{SP}}{{SC}} = y\) (Giả sử \(0 < x < y \le 1\)).
Gọi \(NQ \cap BD = E\), \(MP \cap AC = F\).
Áp dụng định lí Menelaus ta có:
\(\frac{{NS}}{{NB}}.\frac{{EB}}{{ED}}.\frac{{QD}}{{QS}} = 1\) \( \Rightarrow 1.\frac{{EB}}{{ED}}.3 = 1 \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow EB = OB = OD\) \( \Rightarrow \frac{{EB}}{{EO}} = \frac{1}{2}\).
\(\frac{{NS}}{{NB}}.\frac{{EB}}{{EO}}.\frac{{IO}}{{IS}} = 1\) \( \Rightarrow 1.\frac{1}{2}.\frac{{IO}}{{IS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IO}}{{IS}} = 2\).
\(\frac{{MS}}{{MA}}.\frac{{FA}}{{FO}}.\frac{{IO}}{{IS}} = 1\) \( \Rightarrow \frac{x}{{1 - x}}.\frac{{FA}}{{FO}}.2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{FA}}{{FO}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{FO + OA}}{{FO}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\).
\(\frac{{PS}}{{PC}}.\frac{{FC}}{{FO}}.\frac{{IO}}{{IS}} = 1\) \( \Rightarrow \frac{y}{{1 - y}}.\frac{{FC}}{{FO}}.2 = 1 \Leftrightarrow \frac{{FC}}{{FO}} = \frac{{1 - y}}{{2y}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{FO - OA}}{{FO}} = \frac{{1 - y}}{{2y}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{FO + OA}}{{FO}} + \frac{{FO - OA}}{{FO}} = \frac{{1 - x}}{{2x}} + \frac{{1 - y}}{{2y}}\\ \Rightarrow 2 = \frac{{1 - x}}{{2x}} + \frac{{1 - y}}{{2y}} \Leftrightarrow 2 = \frac{{y\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - y} \right)}}{{2xy}}\\ \Leftrightarrow 4xy = y - xy + x - xy = x + y - 2xy\\ \Leftrightarrow x + y = 6xy\,\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 6\end{array}\)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(0 < x \le y \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} \ge \frac{1}{y}\), khi đó ta có:
\(\frac{1}{y} + \frac{1}{y} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 6 \Leftrightarrow \frac{2}{y} \le 6 \Leftrightarrow y \ge \frac{1}{3}\).
Đặt \(k = \frac{{{V_{S.MNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\), ta có:
\(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{xy}}{2}\) \( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{{xy}}{4}{V_{S.ABCD}}\).
\(\frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{xy}}{4}\) \( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{{xy}}{8}{V_{S.ABCD}}\).
\( \Rightarrow \frac{{{V_{SMNPQ}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{xy}}{4} + \frac{{xy}}{8} = \frac{{3xy}}{8} = k\).
Từ (*) ta có: \(x\left( {6y - 1} \right) = y \Leftrightarrow x = \frac{y}{{6y - 1}}\,\,\left( {y \ge \frac{1}{3}} \right)\) \( \Rightarrow k = \frac{3}{8}\frac{{{y^2}}}{{6y - 1}}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{y^2}}}{{6y - 1}}\), với \(y \ge \frac{1}{3}\) ta có:
\(f'\left( y \right) = \frac{{2y\left( {6y - 1} \right) - 6{y^2}}}{{{{\left( {6y - 1} \right)}^2}}} = \frac{{6{y^2} - 2y}}{{{{\left( {6y - 1} \right)}^2}}}\) ; \(f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow 6{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
BBT:
Vậy \({k_{\min }} = \frac{3}{8}.\frac{1}{9} = \frac{1}{{24}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
