Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {1 -

Câu hỏi số 386657:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {1 - \dfrac{m}{2}} \right){x^2} + 4x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

A. \(m < 6\)

B. \(m \le 7\)

C. \(m \le 6\)

D. \(m < 7\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386657

Phương pháp giải

Hàm đa thức \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) nếu \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\)(dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\)

Hay \({x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4 \ge 0,1 < x < 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4 \ge mx\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\) với mọi \(x \in \left( {1;3} \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{x} = x + 2 + \dfrac{4}{x}\) trên \(\left( {1;3} \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left( {1;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\)

Ta có BBT của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {1;3} \right)\).

Từ BBT suy ra \(m \le 6.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.