Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm

Câu hỏi số 386656:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt{21}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{4}\)

D. \(a\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:386656

Phương pháp giải

Xác định trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB\) và trục đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD\).

Giao hai trục là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)

Từ đó tính bán kính dựa vào định lý Pytago

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm đoạn \(AB\) và \(E\) là giao điểm hai đường chéo.

Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) (vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\))

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AB\\EH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow EH \bot \left( {SAB} \right)\)

Gọi I là trọng tâm tam giác \(SAB\), qua \(I\) kẻ \(Ix//HE\)

Qua \(E\) kẻ \(Ey//SH\), và \(Ey\) giao với \(Ix\) tại \(K\).

Khi đó \(KS = KA = KB = KC = KD.\)

Hay \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)

Ta có \(\Delta IKS\) vuông tại \(I\) có \(IS = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) ; \(HE = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}.\)

Nên \(KS = \sqrt {S{I^2} + I{K^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.