Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt
Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC,\,\,CD\) sao cho \(MN\) luôn bằng \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện \(SAMN\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(1\) nên \(AC = BD = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\) ta có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot \left( {AMN} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{AMN}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.{S_{AMN}}\).
Do đó \({V_{S.AMN\,\,\min }} \Leftrightarrow {S_{AMN}}\) min.
Đặt \(CM = x,\,\,CN = y\,\,\left( {0 \le x;y \le 1} \right)\), khi đó ta có \({x^2} + {y^2} = 1\) (Định lí Pytago trong tam giác vuông \(CMN\)).
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB.AM = \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right)\\{S_{ADN}} = \dfrac{1}{2}AD.DN = \dfrac{1}{2}\left( {1 - y} \right)\\{S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}xy\\ \Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{ABM}} + {S_{ADN}} + {S_{CMN}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {1 - x + 1 - y + xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {2 - x - y + xy} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {x + y - xy} \right)\end{array}\)
Ta có \({x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \sqrt {1 - {x^2}} \). Khi đó ta có \(S = \dfrac{1}{2}\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} - x\sqrt {1 - {x^2}} \) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - \sqrt {1 - {x^2}} - x.\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\y' = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x - \left( {1 - {x^2}} \right) + {x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\y' = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} + 2{x^2} - x - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} + 2{x^2} - x - 1 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} + \left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} \left[ {\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \left( {2x + 1} \right)} \right] = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \left( {2x + 1} \right) = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\1 + x = \left( {1 - x} \right){\left( {2x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\4{x^3} - 2x = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4}\).
\( \Rightarrow \min {S_{AMN}} = \dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4}\).
Vậy \(\min {V_{S.AMN}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{2\sqrt 2 - 1}}{4} = \dfrac{{4 - \sqrt 2 }}{{24}}\)
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
