a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2

Câu hỏi số 387513:

Vận dụng

a) Tính tổng sau: \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)

b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387513

Phương pháp giải

+) Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, nhóm các hạng tử.

+) Áp dụng công thức tính tổng của 1 dãy các số tự nhiên liên tiếp: \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{{n + 1}}{2} \cdot n = \dfrac{{n.\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + \ldots + 1 + 2 + 3 + \ldots 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + 1 + 1 + \ldots + 1} \right) + \left( {2 + 2 + \ldots 2} \right) + \left( {3 + 3 + 3 + 3 \ldots } \right) + \ldots + 2020}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}\\\,\,\,\,\, = 1\end{array}\)

b) Chứng minh rằng biểu thức \(B\) có giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) với \(B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}.\)

Với biểu thức \(B\), xét tử số ta có:

\(\,\,\,\,1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1\)

\( = 1 + \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3} \right) + \ldots + \left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 2020} \right)\)

\( = \dfrac{{0 + 1}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 2}}{2} \cdot 2 + \dfrac{{1 + 3}}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{1 + 2020}}{2} \cdot 2020\)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot 2 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 + \dfrac{4}{2} \cdot 3 + \ldots + \dfrac{{2021}}{2} \cdot 2020\)

\( = \dfrac{{1.2}}{2} + \dfrac{{2.3}}{2} + \dfrac{{3.4}}{2} + \ldots + \dfrac{{2020.2021}}{2}\)

\( = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \dfrac{{1.2020 + 2.2019 + 3.2018 + \ldots + 2020.1}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021} \right)}}{{1.2 + 2.3 + 3.4 + \ldots + 2020.2021}} = \dfrac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{1}{2} \cdot \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link