Tổng \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2018}}\) bằng phân số

Câu hỏi số 387514:

Vận dụng cao

Tổng \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2018}}\) bằng phân số \(\dfrac{a}{b}\). Chứng minh rằng \(a\) chia hết cho \(2019\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387514

Phương pháp giải

+) Để chứng minh ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử có mẫu cộng lại bằng \(2019\).

+) Đưa tử số về dạng \(a = 2019.k\) suy ra \(a\) chia hết cho \(2019\).

Giải chi tiết

Tổng \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2018}}\) bằng phân số \(\dfrac{a}{b}\). Chứng minh rằng \(a\) chia hết cho \(2019\).

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{{2018}}\)\( = \left( {\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{2018}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2017}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{1}{{1009}} + \dfrac{1}{{1010}}} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{2018}}{{1.2018}} + \dfrac{1}{{1.2018}}} \right) + \left( {\dfrac{{2017}}{{2.2017}} + \dfrac{2}{{2.2017}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{{1010}}{{1009.1010}} + \dfrac{{1009}}{{1009.1010}}} \right)\)

\(\, = \dfrac{{2019}}{{1.2018}} + \dfrac{{2019}}{{2.2017}} + \ldots + \dfrac{{2019}}{{1009.1010}}\)

\( = \dfrac{{2019.{k_1} + 2019.{k_2} + \ldots + 2019.{k_{1009}}}}{{1.2.3 \ldots 2017.2018}}\)

\( = \dfrac{{2019.\left( {{k_1} + {k_2} + \ldots + {k_{1009}}} \right)}}{{1.2.3 \ldots 2017.2018}}\)

(Mẫu chung là \(1.2.3 \ldots 2017.2018\) khi đó \({k_1},\,\,{k_2}, \ldots ,\,\,{k_{1009}}\) là các thừa số phụ).

Ta thấy, \(a = 2019.\left( {{k_1} + {k_2} + \ldots + \,{k_{1009}}} \right)\) suy ra \(a\) chia hết cho \(2019\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link